Berikut adalah rangkuman materi, contoh kasus, dan pembahasan untuk persiapan UAS.
Riset Operasional (Operations Research) adalah aplikasi metode ilmiah, teknik, dan alat-alat matematika terhadap masalah-masalah yang berkaitan dengan operasi sebuah sistem. Tujuannya adalah memberikan solusi optimal bagi pengambil keputusan. Tiga elemen kunci model TRO adalah:
1. Variabel Keputusan (x): Unsur yang dapat dikendalikan.
2. Fungsi Tujuan (Z): Target yang ingin dicapai (Max/Min).
3. Fungsi Kendala: Batasan sumber daya yang tersedia.
PT. Tekstil Jaya memproduksi Kain Sutra (X1) dan Kain Wol (X2). Keuntungan per meter: Sutra Rp 50.000, Wol Rp 40.000.
- Mesin Tenun: Sutra 3 jam, Wol 2 jam (Max 60 jam).
- Bahan Baku: Sutra 2 kg, Wol 4 kg (Max 80 kg).
Soal: Tentukan model matematisnya.
Fungsi Tujuan:
Max Z = 50.000 X1 + 40.000 X2
Fungsi Kendala:
1. 3 X1 + 2 X2 ≤ 60 (Jam Tenun)
2. 2 X1 + 4 X2 ≤ 80 (Bahan Baku)
3. X1, X2 ≥ 0 (Syarat Non-negatif)
TRO bermula saat Perang Dunia II di Inggris ("Military Operations Research") untuk mengoptimalkan penggunaan radar dan logistik militer. Pasca perang, George Dantzig (1947) menemukan metode Simplex, membawa TRO ke dunia industri. Tahapan metodologi TRO meliputi: Observasi, Definisi Masalah, Konstruksi Model, Solusi Model, dan Validasi.
Manajer logistik harus mendistribusikan bantuan bencana ke 3 titik lokasi dengan biaya minimum dan waktu tercepat.
Soal: Klasifikasikan jenis permasalahan ini dalam ruang lingkup TRO.
Masalah ini masuk dalam kategori Model Transportasi (Transportation Model) dan Analisis Jaringan (Network Analysis). Variabel keputusannya adalah jumlah barang yang dikirim dari gudang i ke titik j, dengan tujuan meminimalkan fungsi biaya total (Cost Minimization).
Pemodelan adalah proses abstraksi dunia nyata ke dalam simbol matematis. Model yang baik harus memenuhi kriteria: Sederhana namun representatif, Dapat dimengerti, dan Robust (tahan uji). Kesalahan umum dalam pemodelan adalah mengabaikan kendala implisit.
Petani memiliki lahan 100 Ha. Ingin menanam Jagung (X) dan Padi (Y).
- Modal tersedia: Rp 500 Juta.
- Biaya tanam: Jagung Rp 4 Juta/Ha, Padi Rp 6 Juta/Ha.
- Tenaga kerja max: 1200 HOK (Hari Orang Kerja).
- Jagung butuh 10 HOK/Ha, Padi 15 HOK/Ha.
Soal: Formulasikan kendalanya.
1. Kendala Lahan: X + Y ≤ 100
2. Kendala Modal: 4X + 6Y ≤ 500 (dalam Juta)
3. Kendala Tenaga: 10X + 15Y ≤ 1200
4. Non-negatif: X, Y ≥ 0
Agar masalah dapat diselesaikan dengan Linear Programming (LP), 4 asumsi dasar harus terpenuhi:
1. Linearity (Proporsionalitas): Naik turunnya output sebanding input.
2. Additivity (Penjumlahan): Total nilai adalah jumlah dari bagian-bagiannya.
3. Divisibility (Keterbagian): Nilai variabel boleh pecahan.
4. Deterministic (Kepastian): Parameter diketahui dengan pasti.
Sebuah pabrik memberikan diskon harga bahan baku sebesar 10% jika pembelian melebihi 1.000 unit. Apakah kasus ini bisa menggunakan LP standar?
Tidak bisa. Hal ini melanggar asumsi Linearity/Proporsionalitas. Fungsi biaya menjadi tidak linear (ada patahan harga setelah unit ke-1000). Kasus ini harus diselesaikan dengan metode Non-Linear Programming atau Piecewise Linear.
Metode Grafik digunakan untuk menyelesaikan masalah LP yang hanya memiliki 2 variabel keputusan. Solusi optimal selalu terletak pada salah satu titik pojok (corner point) dari daerah penyelesaian yang layak (Feasible Region).
Max Z = 3X + 2Y
Kendala:
1. X + Y ≤ 5
2. X ≥ 0, Y ≥ 0
Soal: Tentukan nilai X dan Y optimal.
Garis X + Y = 5 memotong sumbu di (0,5) dan (5,0).
Area feasible adalah segitiga (0,0), (5,0), dan (0,5).
Uji Titik Pojok:
- Titik (0,0) → Z = 0
- Titik (5,0) → Z = 3(5) + 0 = 15
- Titik (0,5) → Z = 0 + 2(5) = 10
Solusi Optimal: X=5, Y=0 dengan Z max = 15.
Dalam metode grafik, seringkali titik optimal bukan di sumbu, melainkan di perpotongan dua garis kendala. Hal ini dicari menggunakan metode eliminasi atau substitusi sistem persamaan linear.
Kendala 1: 2X + Y = 10
Kendala 2: X + 3Y = 15
Soal: Cari titik potong kedua garis tersebut.
Dari Kendala 1: Y = 10 - 2X.
Substitusi ke Kendala 2:
X + 3(10 - 2X) = 15
X + 30 - 6X = 15
-5X = -15 → X = 3
Cari Y: Y = 10 - 2(3) = 4.
Titik Potong: (3, 4).
Metode Simplex adalah algoritma aljabar iteratif untuk menyelesaikan masalah LP dengan lebih dari 2 variabel. Langkah pertamanya adalah mengubah pertidaksamaan (≤) menjadi persamaan (=) dengan menambahkan Slack Variable (S). Slack variable merepresentasikan kapasitas yang tidak terpakai.
Ubah ke Bentuk Baku Simplex:
Max Z = 5X1 + 7X2
Kendala: 2X1 + 3X2 ≤ 12
1. Fungsi Tujuan (Nol-kan ruas kanan):
Z - 5X1 - 7X2 = 0
2. Fungsi Kendala (Tambah Slack):
2X1 + 3X2 + S1 = 12
Variabel S1 ini yang akan masuk ke tabel awal Simplex.
Setiap masalah LP (Primal) memiliki bayangan masalah (Dual). Jika Primal adalah Maksimasi Keuntungan, maka Dual adalah Minimasi Biaya Sumber Daya. Solusi optimal Primal sama dengan solusi optimal Dual. Variabel dual mengindikasikan Shadow Price (harga bayangan).
Primal: Max Z = 3X1 + 4X2
Kendala: X1 + 2X2 ≤ 10
Soal: Tentukan fungsi tujuan Dual-nya.
Nilai Ruas Kanan (RHS) Primal menjadi Koefisien Tujuan Dual.
Dual: Min W = 10Y1
Kendala Dual diambil dari kolom Primal:
1. 1Y1 ≥ 3
2. 2Y1 ≥ 4
Analisis Sensitivitas (Post-Optimality Analysis) mengukur dampak perubahan parameter input (koefisien fungsi tujuan atau ketersediaan sumber daya) terhadap solusi optimal. Ini menjawab pertanyaan "What-If" tanpa perlu menghitung ulang dari awal.
Solusi optimal produksi adalah 50 unit. Range of Optimality untuk keuntungan per unit adalah Rp 4.000 - Rp 6.000. Saat ini keuntungan Rp 5.000.
Soal: Jika keuntungan naik menjadi Rp 5.500, apakah jumlah produksi optimal berubah?
Tidak Berubah. Karena Rp 5.500 masih berada di dalam rentang sensitivitas (Range of Optimality), maka keputusan produksi tetap 50 unit. Hanya total keuntungan (Z) yang akan meningkat.
Model Transportasi bertujuan mendistribusikan barang dari beberapa sumber ke beberapa tujuan dengan biaya minimum. Salah satu metode solusi awal adalah North West Corner (NWC), yaitu mengisi alokasi mulai dari pojok kiri atas matriks.
Gudang A (Supply 50), Gudang B (Supply 50).
Toko 1 (Demand 40), Toko 2 (Demand 60).
Soal: Alokasi tahap pertama dengan NWC.
1. Mulai Pojok Kiri Atas (Gudang A → Toko 1).
2. Supply A = 50, Demand T1 = 40. Penuhi Demand T1.
3. Alokasi: 40 unit dari A ke T1. Sisa Supply A = 10.
4. Geser ke Kanan (Gudang A → Toko 2). Alokasikan sisa 10 unit A.
5. Sisanya dipenuhi oleh Gudang B.
Model Penugasan adalah kasus khusus model transportasi dimana Supply=1 dan Demand=1 (satu orang satu tugas). Metode penyelesaiannya adalah Metode Hungarian, yang berbasis pada pengurangan matriks biaya (Row reduction & Column reduction).
Biaya:
A: [10, 15]
B: [12, 14]
Soal: Lakukan reduksi baris.
Kurangi setiap baris dengan angka terkecil di baris tersebut.
Baris A (min 10): [10-10, 15-10] → [0, 5]
Baris B (min 12): [12-12, 14-12] → [0, 2]
Matriks hasil reduksi baris siap untuk reduksi kolom.
Integer Programming (IP) digunakan ketika variabel keputusan harus bernilai bulat (diskrit), seperti jumlah manusia atau mesin. Metode penyelesaiannya menggunakan Branch and Bound.
Hasil perhitungan LP untuk jumlah produksi mobil adalah 3,6 unit. Mengapa kita tidak boleh langsung membulatkan ke 4?
Pembulatan ke atas (4 unit) berisiko Infeasible (melanggar kendala sumber daya, misal bahan baku kurang). Pembulatan ke bawah (3 unit) mungkin Sub-optimal (keuntungan tidak maksimal). Maka harus dicari dengan algoritma IP yang tepat.
Teori Antrian menganalisis kinerja sistem layanan. Komponen utama: Pola kedatangan (Poisson), Pola layanan (Eksponensial), dan Jumlah server. Rumus dasar sistem M/M/1 untuk rata-rata jumlah dalam sistem ($L_s$):
Ls = λ / (μ - λ)
Nasabah datang rata-rata 10/jam (λ). Teller mampu melayani 15/jam (μ).
Soal: Berapa rata-rata jumlah nasabah di bank?
Ls = 10 / (15 - 10)
Ls = 10 / 5 = 2 Nasabah.
Artinya rata-rata ada 2 orang di bank (1 dilayani, 1 antri).
Pengambilan keputusan dalam kondisi ketidakpastian. Kriteria umum:
1. Maximax (Optimis): Pilih hasil maksimal dari yang maksimal.
2. Maximin (Pesimis): Pilih hasil maksimal dari kondisi terburuk (aman).
Investasi A: Untung 100 (Bagus), Rugi 50 (Buruk).
Investasi B: Untung 40 (Bagus), Untung 10 (Buruk).
Soal: Apa keputusan investor tipe Maximin?
1. Cari nilai terburuk tiap opsi:
- A: -50
- B: 10
2. Pilih yang terbaik dari yang terburuk:
Max(-50, 10) = 10.
Keputusan: Pilih Investasi B (Lebih aman).
UTS mencakup materi Pertemuan 1 s.d. 7. Fokus pada formulasi model matematis dari soal cerita dan penyelesaian menggunakan Metode Grafik.
PT. Pangan Sehat memproduksi Roti (X) dan Kue (Y).
- Tepung: Roti 200g, Kue 100g (Stok 10kg).
- Gula: Roti 50g, Kue 50g (Stok 4kg).
- Profit: Roti Rp 2k, Kue Rp 3k.
Pertanyaan: Tentukan kombinasi produksi optimal.
1. 2X + Y ≤ 100 (Tepung dlm ons)
2. 0.5X + 0.5Y ≤ 40 (Gula dlm ons)
Cari titik potong dan uji ke Z = 2000X + 3000Y.
UAS bersifat komprehensif, mencakup Simplex Lanjutan, Transportasi, Penugasan, dan Teori Keputusan.
Sebuah proyek memiliki biaya pengiriman awal Rp 50 Juta (Metode NWC). Setelah dioptimasi dengan Stepping Stone, biaya turun menjadi Rp 42 Juta.
Pertanyaan: Jelaskan secara manajerial mengapa terjadi penurunan biaya tersebut?
Metode NWC hanya mengisi alokasi berdasarkan posisi geografis matriks tanpa melihat efisiensi biaya. Metode optimasi (Stepping Stone) mengevaluasi Opportunity Cost dan memindahkan alokasi ke rute yang lebih murah hingga mencapai efisiensi maksimal (Global Optimum).
